Det decimala talsystemet och det binära talsystemet
Kategori: Allmänt
Efter att ha sett eleverna arbeta med att omvandla tal mellan olika enheter slog det mig att det vore intressant att ta en titt på vårt talsystem och vad som kännetecknar det! För du vet väl vilket talsystem vi använder, eller?
Här i Sverige och i många andra delar av världen använder vi oss av det decimala talsystemet. Dom ni vet betyder deci tiondel, och det decimala talsystemet innebär alltså att varje steg är tio gånger större. Det betyder också att vi använder oss av tio siffror för att bygga upp alla tal: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
Vi tar ett exempel: för in talet 4692 i det decimala talsystemet.
|
10^6 |
10^5 |
10^4(tiotusental) |
10^3 (tusental) |
10^2 (hundratal) |
10^1 (tiotal) |
10^0 (ental) |
|
|
|
|
4 |
6 |
9 |
2 |
Först ha vi det knepiga med 10^0, vilket betyder 10 upphöjt i 0. Den kolumnen står för ental. 10^1 står för tiotal, 10^2 står för hundratal och så vidare. Tänk er att 10^0 betyder att man tar med sig noll nollor, kvar blir alltså 1 (ental), 10^1 tar man med en nolla, alltså 10 (tiotal) och så vidare. I vårt exempel är allt siffran 2 ental, siffran 9 tiotal, siffran 6 hundratal och siffran 4 tusental. Vi tar ett nytt exempel:
Sätt ut talet femtonhundra sextioett:
Här kan man bli lurad och tänka att "femton hundratal, aha!" och sätta in det på följande sätt:
|
10^6 |
10^5 |
10^4(tiotusental) |
10^3 (tusental) |
10^2 (hundratal) |
10^1 (tiotal) |
10^0 (ental) |
|
|
|
|
|
15 |
6 |
1 |
Detta är tyvärr felaktigt, eftersom det bara får plats nio hundratal i kolumnen, och när det kommer dit ytterligare ett, så vi har uppnått tio hundratal, så växlar vi in det mot ett tusental. Så här bör det se ut:
|
10^6 |
10^5 |
10^4(tiotusental) |
10^3 (tusental) |
10^2 (hundratal) |
10^1 (tiotal) |
10^0 (ental) |
|
|
|
|
1 |
5 |
6 |
1 |
Man kan tänka sig att man fyller på från vänster. Man frågar sig "hmm... femtonhundra sextioett, hur många tiotusental kan jag fylla i?". Svaret där är noll gånger, så då fortsätter man "hmm... hur många tusental kan jag fylla i? Ett, haha!" och så vidare.
Nu börjar det spännande. I vårt talsystem, det decimala, så är varje steg tio gånger större, men så är det inte i andra talsystem, som exempelvis det binära talsystemet. Där är varje steg två gånger större. I det binära talsystemet finns det alltså bara två olika siffror, 0 och 1. Detta gör att talsystemet passar utmärkt i exempelvis datorer. Tänk er själva, antingen är datorn igång (1) eller avstängd (0). Hade den använt vårt decimala talsystem hade det varit avstängd (0), igång (9), ganska avstängd (2), ganska mycket igång (7) osv. Detta hade varit... krångligt. Hur sätter man då in siffror i det binära talsystemet, undrar du kanske? Vilken tur, för jag ska visa!
I det decimala talsystemet sätter vi in talet 9.
|
10^6 |
10^5 |
10^4 (tiotusental) |
10^3 (tusental) |
10^2 (hundratal) |
10^1 (tiotal) |
10^0 (ental) |
|
|
|
|
|
|
|
9 |
Nu testar vi att sätta in det i det binära talsystemet, som ser ut så här:
|
2^6 |
2^5 |
2^4 |
2^3 (åttatal) |
2^2 (fyrtal) |
2^1 (tvåtal) |
2^0 (ental) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Man kan säga att det binära talsystemet använder två som bas, medan vi använder basen tio i vårt decimala talsystem. Vi brukar använda ental, tiotal, hundratal osv, men i det binära talsystemet har vi ental, tvåtal, fyrtal, åttatal, sextontal osv. Man fyller dock i det på samma sätt:
|
2^6 |
2^5 |
2^4 |
2^3 (åttatal) |
2^2 (fyrtal) |
2^1 (tvåtal) |
2^0 (ental) |
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
1 |
Hur många åttatal kan vi få ut från nio? 1 åttatal, hur många fyrtal? Noll, eftersom vi redan använt 8 av vår 9:a. Hur många tvåtal? Noll, och slutligen, hur många ental? 1. Därför skriver man talet 9 (decimala talsystemet) som 1001 i det binära talsystemet. Vi tar ett till exempel: Skriv talet 15 som ett binärt tal!
|
2^6 |
2^5 |
2^4 |
2^3 (åttatal) |
2^2 (fyrtal) |
2^1 (tvåtal) |
2^0 (ental) |
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
Samma princip här: Hur många åttatal får vi ut ur 15? Ett, hur många fyrtal? Ett, hur många tvåtal, ett och slutligen hur många ental, ett. Därför blir det decimala talet 15 det binära talet 1111.
Pröva själv! Sätt in talet 7 i det binära talsystemet!
|
2^6 |
2^5 |
2^4 |
2^3 (åttatal) |
2^2 (fyrtal) |
2^1 (tvåtal) |
2^0 (ental) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Kom ihåg: Fyll i från vänster till höger. Får du plats med något sextontal? Får du plats med något åttatal? Fyrtal?tvåtal? Ental?
Här nedanför har du ett facit!
|
2^6 |
2^5 |
2^4 |
2^3 (åttatal) |
2^2 (fyrtal) |
2^1 (tvåtal) |
2^0 (ental) |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
Ett fyratal (4) + ett tvåtal (2) + ett ental (1)= 4+2+1= 7
Prova nu med vilka tal du vill, jag är säker på att du löser det!
Vill du ha en riktig utmaning? Prova att göra tvärtom, alltså att överföra ett binärt tal till det decimala talsystemet. Vad blir tillexempel det binära talet 10001 i det decimala talsystemet? Se nedan.
|
2^6 |
2^5 |
2^4 |
2^3 |
2^2 |
2^1 |
2^0 |
|
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
Hur många sextontal har vi? Ett (16), sen har vi noll åttatal, fyrtal och tvåtal och avslutningsvis har vi ett ental (1). 16+1=17.
Hoppas ni fått lära er något, jag tror inte jag vågar fortsätta mer, då kanske ni trillar av stolarna!
// Joakim
